家族が退職後に雇用保険（失業保険）を受給を開始しました。被扶養者（扶養家族）として健保の資格がなくなる「削除日」はいつになりますか？

受給開始日をもって資格喪失となります。受給開始日とは、給付制限期間がある場合はその終了日の翌日、給付制限期間がない場合は待機満了日の翌日です。実際に給付金の振込があった日ではありませんのでご注意ください。